12平均律
12平均律はおそらく12ETとしてよく知られている。明らかにテンペラメントである。今日、世界でも有力なチューニングである。5リミットハーモニーの響きを強く主張する、最小の均等分割であるため、この地位を獲得した。1/12ピタゴラスコンマ（およそ1/11のシントニックコンマ）ミーントーンのように、それはミーントーンを代表する。
オクターブが縮小または拡大されていない限り、オクターブを100セントで均等に分割し、12個のパートを作る。12平均律は2セントフラットされたとてもよい5度を持っている。長3度は13+2/3セントシャープされており、いくつかの音楽スタイルで十分に機能し、それ以外の音楽スタイルでは機能しない。そして短3度は15+2/3セントフラットされる。ヨーロッパのチューニングがだんだんと12ETに向かって近づいて行ったのはたぶん偶然ではない。12ETの欠陥はあまり目立たずあらわれるように、音楽スタイルが変わったのである。けれども実際のパフォーマンスではしばしば、パフォーマーによるチューニングの操作により、12ETの欠陥は減少されたことを心にとどめておくべきだ。
不完全な7度（7/4、968.83cent）は、31セントよりも大きくシャープされた音程であることを「示す」。そしてテトラコードの心地良さから明確に突出している。そのようなテトラコードはしばしばドミナントセブンスコードの機能で使われた。5リミットJIバージョンはおそらく1/1 - 5/4 - 3/2 - 16/9であり、12ETははっきりと7リミットミーントーンのことを、<12 19 28 34|ヴァル（val）を経由してサポートしている。この7リミットの範囲における信用性は、疑いようもなく陳腐なものとなる。17と、そしてより19においては信用できるが、11と13で繰り返し信用できるかといえば全くそうではない。関連するチューニングの正確性はとても高いにもかかわらず、12平均律は4番目のゼータインテグラル平均律である（zeta integral edo）。
次のコンマがテンパーアウトされる。3^12/2^19のピタゴラスコンマ、81/80のディディモスコンマ、128/125のディエシス、2048/2025のディアシスマ、64/63のアルキュタスコンマ、36/35の7リミットの4分音、50/49のジュビリスマ、126/125の7リミットのセミコンマ、225/224の7リミットのクレイスマ。特定の手法によりそれぞれは12ETの構造に影響を与える。そして問題のコンマを共有するチューニングシステムは、正確にそれらの方法で12ETに近づく。
ランク2テンペラメント[edit]
| Periods
per octave |
Generator | Temperaments |
|---|---|---|
| 1 | 1\12 | Ripple |
| 1 | 5\12 | Meantone/dominant |
| 2 | 1\12 | Srutal/pajara/injera |
| 3 | 1\12 | Augmented |
| 4 | 1\12 | Diminished |
| 6 | 1\12 | Hexe |
12平均律の音程と近似値[edit]
「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=12, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.2]というパラメータで生成したものである。
| EDO | interval | cent | DMS | The "neighborhood" of JI | Japanese name | ratio | diff cent | cent | diff DMS | DMS |
| 12 | 0 | 0.00 | 0.00 | |||||||
| 1 | 100.00 | 30.00 | minor diatonic semitone | ダイアトニックの短2度 | 16/15 | -11.73 | 111.73 | -3.52 | 33.52 | |
| 1 | 100.00 | 30.00 | major diatonic semitone | ダイアトニックの長2度 | 15/14 | -19.44 | 119.44 | -5.83 | 35.83 | |
| 2 | 200.00 | 60.00 | minor whole tone | 小全音 | 10/9 | 17.60 | 182.40 | 5.28 | 54.72 | |
| 2 | 200.00 | 60.00 | major whole tone | 大全音 | 9/8 | -3.91 | 203.91 | -1.17 | 61.17 | |
| 3 | 300.00 | 90.00 | tridecimal minor third | 13リミットの短3度 | 13/11 | 10.79 | 289.21 | 3.24 | 86.76 | |
| 3 | 300.00 | 90.00 | minor third | 短3度 | 6/5 | -15.64 | 315.64 | -4.69 | 94.69 | |
| 4 | 400.00 | 120.00 | major third | 長3度 | 5/4 | 13.69 | 386.31 | 4.11 | 115.89 | |
| 4 | 400.00 | 120.00 | undecimal diminished fourth or major third | 11リミットの減4度または長3度 | 14/11 | -17.51 | 417.51 | -5.25 | 125.25 | |
| 5 | 500.00 | 150.00 | perfect fourth | 完全4度 | 4/3 | 1.96 | 498.04 | 0.59 | 149.41 | |
| 6 | 600.00 | 180.00 | septimal or Huygens' tritone, BP fourth | 7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度 | 7/5 | 17.49 | 582.51 | 5.25 | 174.75 | |
| 6 | 600.00 | 180.00 | Euler's tritone | レオンハルト・オイラーの3全音 | 10/7 | -17.49 | 617.49 | -5.25 | 185.25 | |
| 7 | 700.00 | 210.00 | perfect fifth | 完全5度 | 3/2 | -1.96 | 701.96 | -0.59 | 210.59 | |
| 8 | 800.00 | 240.00 | undecimal augmented fifth | 11リミットの増5度 | 11/7 | 17.51 | 782.49 | 5.25 | 234.75 | |
| 8 | 800.00 | 240.00 | minor sixth | 短6度 | 8/5 | -13.69 | 813.69 | -4.11 | 244.11 | |
| 9 | 900.00 | 270.00 | major sixth, BP sixth | 長6度、ボーレン・ピアスの6度 | 5/3 | 15.64 | 884.36 | 4.69 | 265.31 | |
| 10 | 1000.00 | 300.00 | Pythagorean minor seventh | ピタゴラスの短7度 | 16/9 | 3.91 | 996.09 | 1.17 | 298.83 | |
| 10 | 1000.00 | 300.00 | just minor seventh, BP seventh | 純正短7度、ボーレン・ピアスの7度 | 9/5 | -17.60 | 1017.60 | -5.28 | 305.28 | |
| 11 | 1100.00 | 330.00 | classic major seventh | 古典的な長7度 | 15/8 | 11.73 | 1088.27 | 3.52 | 326.48 | |
| 12 | 1200.00 | 360.00 |
コンマをなだらかにする[edit]
12平均律を< 12 19 28 34 42 44 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。
| Comma | Monzo | Value (Cents) | Name 1 | Name 2 | Name 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 531441/524288 | | -19 12 > | 23.46 | Pythagorean Comma | ||
| 648/625 | | 3 4 -4 > | 62.57 | Major Diesis | Diminished Comma | |
| 128/125 | | 7 0 -3 > | 41.06 | Diesis | Augmented Comma | |
| 81/80 | | -4 4 -1 > | 21.51 | Syntonic Comma | Didymos Comma | Meantone Comma |
| 2048/2025 | | 11 -4 -2 > | 19.55 | Diaschisma | ||
| 5201701/5149091 | | 26 -12 -3 > | 17.60 | Misty Comma | ||
| 32805/32768 | | -15 8 1 > | 1.95 | Schisma | ||
| | 161 -84 -12 > | 0.02 | Atom | |||
| 36/35 | | 2 2 -1 -1 > | 48.77 | Septimal Quarter Tone | ||
| 50/49 | | 1 0 2 -2 > | 34.98 | Tritonic Diesis | Jubilisma | |
| 64/63 | | 6 -2 0 -1 > | 27.26 | Septimal Comma | Archytas' Comma | Leipziger Komma |
| 3125/3087 | | 0 -2 5 -3 > | 21.18 | Gariboh | ||
| 126/125 | | 1 2 -3 1 > | 13.79 | Septimal Semicomma | Starling Comma | |
| 4000/3969 | | 5 -4 3 -2 > | 13.47 | Octagar | ||
| 321489/320000 | | -9 8 -4 2 > | 8.04 | Varunisma | ||
| 225/224 | | -5 2 2 -1 > | 7.71 | Septimal Kleisma | Marvel Comma | |
| 3136/3125 | | 6 0 -5 2 > | 6.08 | Hemimean | ||
| 5120/5103 | | 10 -6 1 -1 > | 5.76 | Hemifamity | ||
| 33554432/33480783 | | 25 -14 0 -1 > | 3.80 | Garischisma | ||
| 703125/702464 | | -11 2 7 -3 > | 1.63 | Meter | ||
| 250047/250000 | | -4 6 -6 3 > | 0.33 | Landscape Comma | ||
| 99/98 | | -1 2 0 -2 1 > | 17.58 | Mothwellsma | ||
| 100/99 | | 2 -2 2 0 -1 > | 17.40 | Ptolemisma | ||
| 176/175 | | 4 0 -2 -1 1 > | 9.86 | Valinorsma | ||
| 896/891 | | 7 -4 0 1 -1 > | 9.69 | Pentacircle | ||
| 441/440 | | -3 2 -1 2 -1 > | 3.93 | Werckisma | ||
| 9801/9800 | | -3 4 -2 -2 2 > | 0.18 | Kalisma | Gauss' Comma | |
| 91/90 | | -1 -2 -1 1 0 1 > | 19.13 | Superleap |